Toán học trong dự báo thời tiết

Hệ PES này áp dụng cho tất cả các quá trình trong khí quyển từ những xoáy bụi nhỏ mà chúng ta đôi khi bắt gặp trên các con phố, các cụm mây có phân bố như những gợn sóng nhỏ trên bầu trời, cho đến các cơn bão nhiệt đới với quy mô không gian khoảng 1000 km hay các quá trình khí hậu với quy mô thời gian nhiều năm. Tuy nhiên, gần 100 năm kể từ khi bài toán dự báo khí tượng được đặt ra một cách tường minh như vậy bởi Richarson, tất cả nhưng gì chúng ta có thể làm được lại chỉ là một bài toán dự báo thời tiết chỉ với hạn dài nhất đến thời điểm này là 2 tuần với một độ chính xác rất khiêm tốn (2) (tất cả chúng ta hẳn đã có không ít lần bắt gặp các bản tin dự báo sai, ngay cả với các trung tâm dự báo hàng đầu thế giới của Mỹ hay Châu Âu). Mấu chốt của tính dự báo rất khiêm tốn này nằm ở hai khó khăn chính. Thứ nhất, hệ phương trình Navier-Stokes chưa có lời giải chính xác cho đến tại thời điểm hiện tại sau gần 200 năm đưa ra bởi Navier năm 1822. Đây chính là bài toán thiên niên kỷ số ba của viện toán học Clay mà tầm quan trọng của nó đã đi vào tất cả các lĩnh vực sâu sắc nhất của đời sống hàng ngày. Khó khăn thứ hai là do quy mô không thời gian của các quá trình thời tiết biến đổi trong khoảng quá rộng từ các xoáy rối cỡ vài mm cho đến các quá trình sóng hành tinh với quy mô hàng ngàn km mà không một hệ thống thám sát nào có thể ghi nhận đầy đủ để chúng ta cỏ thể đo đạc và tìm hiểu chi tiết.

Cách tiếp cận lý thuyết duy nhất của các nhà khí tượng học đến thời điểm này là sử dụng một tập các giả thiết xấp xỉ gần đúng cho một hiện tượng nào đó để đơn giản hóa hệ PES cho hiện tượng này. Một ví dụ điển hình là các nghiên cứu lý thuyết về bão nhiệt đới. Sư phức tạp của hệ PES cũng như các hiểu biết vật lý‎ còn hết sức khiêm tốn về các quá trình chi tiết trong bão khiến các nhà nghiên cứu khí tượng không thể mô tả một cách giải tích tất cả các quá trình trong bão một cách đầy đủ. Thay vào đó, bão sẽ được chia ra làm các pha phát triển khác nhau mà tương ứng với nó là các xấp xỉ cho pha đó. Ví dụ, trong giai đoạn chín muồi của bão mà cường độ của chúng gần như không thay đổi theo thời gian, nhà khí tượng học Emanuel (Viện công nghệ Massachusetts) năm 1986 đã đề xuất một mô hình trong đó bão được xem như là một chu trình Carnot nhiệt với một cấu trúc đối xứng trục. Cụ thể, bão lấy nhiệt từ bề mặt đại dương với nhiệt độ cao (khoảng 300 K) và sau đó trao đổi với tầng nhiệt độ lạnh hơn ở tầng độ cao khoảng 18 km (khoảng 220 K) trong quá trình chuyển hóa năng lượng ẩn nhiệt có được từ bốc hơi nước sang động năng của bão. Như thế, cường độ cực đại mà một cơn bão có được sẽ được quy đinh bởi nhiệt độ bề mặt biển tương ứng. Đây là một kết luận rất quan trọng cho phép khảo sát mối liên hệ giữa sự ấm nóng toàn cầu và cường độ bão trong tương lai. Trong pha phát triển của bão, chúng ta tuy nhiên lại không thể giả thiết các cơn bão là ở trạng thái dừng như ở trên. Thay vào đó, chúng ta phải xấp xỉ hệ PES theo một cách khác mà cho phép chúng ta tìm được nghiệm phụ thuộc tường minh vào thời gian. Các mô hình lý‎ thuyết khác nhau cho pha phát triển này của bão đều cho thấy bão có thể xem như một hệ động lực không cân bằng và sự phát triển của bão chính là một quá trình hồi tiếp dương của một hệ bất ổn định. Nhưng ngay cả trong những xấp xỉ này, phần lớn các hệ đơn giản hóa vẫn quá phức tạp đến nỗi chưa ai chứng minh được nghiệm giải tích liệu có tồn tại, và nếu có tồn tại liệu nghiệm đó có duy nhất. Chỉ trong một vài tình huống rất đặc biệt lý‎ tưởng hóa thì chúng ta mới thu được các kết quả giải tích. Trong các trường hợp còn lại hệ phương trình thu được vẫn quá phức tạp để chúng ta có thể hi vọng vào một nghiệm đầy đủ.

Các bài toán khí tượng lý‎ thuyết một mặt là rất cần thiết bởi chúng cho phép chúng ta hiểu sâu hơn về quá trình động lực học trong khí quyển. Nhưng mặt khác rõ ràng là các khó khăn cả về mặt lý thuyết lẫn thực tế nêu ở trên lại không cho phép chúng ta tìm hiểu chi tiết bản chất của khí quyển như chúng ta trông đợi. Vậy dự báo thời tiết mà chúng ta theo dõi hàng ngày đang diễn ra bằng cách nào? Quy trình dự báo thời tiết nghiệp vụ hiện đại là tổ hợp của rất nhiều các cấu thành bao gồm các bộ phận xử lý ảnh vệ tinh, thu phát dữ liệu thám sát, kiểm tra đánh giá, v.v., nhưng cốt lõi nhất của tất cả các trung tâm dự báo hiện nay là một mô hình máy tính giải hệ PES nêu ở trên bằng phương pháp số, gọi tắt là dự báo thời tiết số (NWP). Nói một cách đơn giản, chúng ta chia khí quyển liên tục của chúng ta thành một khí quyển rời rạc được mô tả bởi một mạng các điểm nút theo các phương ngang và thẳng đứng với một độ phân giải cho trước. Hệ PES khi đó được chuyển thành một hệ các phương trình cho các điểm nút này, và chúng ta khi đó sẽ mô phỏng khí quyển rời rạc này trên các siêu máy tính. Các kết quả thu được từ các mô phỏng sẽ được xem như là trạng thái khí quyển trong tương lai và từ đó đưa ra các bản tin dự báo. Theo nghĩa này, NWP chính là bài toán tích phân số hệ phương trình đạo hàm riêng từ một điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho trước. Do đặc thù của hệ PES này phụ thuộc mạnh vào điều kiện ban đầu, một cách rõ ràng là các mô hình dự báo thời tiết được xây dựng dựa trên hệ PES phải có được điều kiện ban đầu (biên) tốt nhất có thể. Các nghiên cứu của Lorenz  từ đầu nhưng năm 1960 đã chỉ ra rằng một sự thay đổi nhỏ của điều kiện ban đầu có thể dẫn đến một sự thay đổi rất lớn của trạng thái tích phân theo thời gian. Sự phụ thuộc mạnh của dự báo thời tiết vào điều kiện ban đầu này đôi khi dẫn đến các kết quả hoàn toàn sai lệch so với trạng thái thực của khí quyển chỉ do một vài sai số quan trắc nào đó (3). Đây chính là giới hạn lớn nhất của bài toán dự báo thời tiết số vì dường như chúng ta sẽ không bao giờ có thể có được một hệ thống thám sát toàn cầu đủ chính xác với một độ phân giải tuỳ ý. Các nghiên cứu lý thuyết của Lorenz từ năm 1960 đã đặt ra một giới hạn trên cho hạn dự báo của các mô hình số là vào khoảng 2 tuần, và đây được xem như là điểm tới hạn của bài toán dự báo thời tiết NWP.

Song song với bài toán tạo trường ban đầu tốt nhất, lớp bài toán có tầm quan trọng không kém trong các mô hình dự báo số chính là các thuật toán sai phân hóa hệ PES. Đây là nguồn gốc của các sai số nội tại của mô hình mà trong suốt các thập kỷ vừa qua hàng loạt các thuật toán sai phân hữu hạn hay tích phân phổ đã được liên tục phát triển và thử nghiệm để giảm tối đa các nghiệm phi vật lý của thuật toán. Cùng với đòi hỏi độ phân giải ngày càng cao của các mô hình để có thể chi tiết hóa các quá trình vật lý thì các đòi hỏi về khả năng tính toán cũng tăng lên rất nhanh đến mức độ phân giải khả thi nhất của chúng ta hiện nay cũng chỉ vào khoảng 10 km đối với các bài toán nghiệp vụ, một độ phân giải rất thô cho các quá trình mưa hay lốc xoáy. Thêm vào đó, sự hiểu biết không đầy đủ về các quá trình vật lý khí quyển cũng ngăn cản chúng ta có được nhưng biểu diễn chính xác của các quá trình vật lý trong mô hình.

Tất cả nhưng khó khăn về mặt lý thuyết cũng như khả năng quan trắc ở trên đã và đang hạn chế nghiêm trọng đến năng lực dự báo thời tiết của con người mà hiện tại chúng ta vẫn chưa vượt qua được. Bài toán dự báo thời tiết do đó vẫn đang là một bài toán chưa có lời giải.
———-
¹PES trong bài  này là viết tắt của Primitive Equation Systems. Một cách tổng quát, hệ PES trong khí tượng bao gồm phương trình chuyển động Navier-Stokes, phương trình trạng thái, phương trình bảo toàn khối lượng, và phương trình bảo toàn năng lượng. Trong một số tài liệu, hệ PES có thể bao gồm các phương trình Navier-Stokes và phương trình bảo toàn khối lượng.
² Dự báo thời tiết trong khuôn khổ đề cập ở đây là các dự báo dựa trên hệ động lực PES. Các dự báo bằng phương pháp thống kê nói chung có thể cho các bản tin dự báo xa hơn (với độ chính xác tuy nhiên kém hơn). Kiểu dự báo thống kê này tuy nhiên lại không mang thuộc tính động lực học của khí quyển và sẽ không được đề cập ở đây.
³ Một ví dụ minh hoạ của Lorenz cho sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu này chính là hiệu ứng “con bướm” mà một sự vỗ cánh nhỏ của nó tại Brazil được mường tượng là có thể tạo ra các cơn lốc xoáy ở Texas, Bắc Mỹ.